Gielis

La superfórmula de Gielis genera curvas con simetrías tipo “flor/estrella” a partir de unos pocos parámetros. La curva se define en coordenadas polares por:

\[ r(\theta) = \left( r_1(\theta) + r_2(\theta) \right)^{\tfrac{1}{n_{1}}}, \] con \[ r_1(\theta) = \left|\frac{\cos\!\left(\tfrac{m\,\theta}{4}\right)}{a}\right|^{\,n_{2}} \] y \[ r_2(\theta) = \left|\frac{\sin\!\left(\tfrac{m\,\theta}{4}\right)}{b}\right|^{\,n_{3}} \] para $\theta \in [0, 2\pi)$.

Parámetros

$m$ (entero ≥ 1): controla la simetría rotacional de la figura. Con $m$ entero, la curva tiene simetría de orden $m$ (se “repite” $m$ veces alrededor del centro).
$a>0$, $b>0$: factores de escala en las direcciones asociadas a los términos de coseno (para $a$) y seno (para $b$). Valores mayores de $a$ o $b$ “aplanan/estiran” la figura de manera anisotrópica. Si $a=b$, la figura es más equilibrada.
$n_{1}>0$: controla la redondez vs. agudeza global del contorno. Valores pequeños (p. ej., $0.2\!-\!0.6$) producen puntas más marcadas; valores grandes suavizan el borde.
$n_{2}>0$, $n_{3}>0$: moldean la forma local de los lóbulos. $n_{2}$ afecta las zonas donde domina el coseno; $n_{3}$ las zonas donde domina el seno. Si $n_{2}=n_{3}$, la figura suele verse más uniforme; si difieren, se enfatizan direcciones específicas.

Notas de uso

Se recomienda mantener $a,b,n_{1},n_{2},n_{3}>0$ para curvas bien definidas.
El número de lóbulos típicamente está relacionado con $m$; cambiar $n_{1},n_{2},n_{3}$ altera cuán “afilados” o “redondeados” aparecen.
La representación cartesiana se obtiene con $x=r(\varphi)\cos\varphi$, $y=r(\varphi)\sin\varphi$.