En lo que sigue consideraremos dos vectores en el plano, $$A = (a_1, a_2), \qquad B = (b_1, b_2).$$ De cursos básicos de álgebra vectorial recordamos dos operaciones fundamentales: el producto punto, denotado $A \cdot B$, y el producto exterior (que en $\mathbb{R}^2$ coincide con el determinante), denotado $A \land B$. Sus definiciones son: $$ A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2, $$ $$ A \land B = a_1 b_2 - a_2 b_1. $$ Se observa de inmediato que $A \cdot B = B \cdot A$, mientras que $A \land B = - (B \land A)$. En otras palabras, el producto punto es conmutativo, mientras que el producto exterior es antisimétrico. Además, la cantidad $\sqrt{A \cdot A}$ se denomina norma o módulo de $A$ y se escribe $\lVert A \rVert$.
Si $\alpha$ es el ángulo entre $A$ y $B$, entonces se cumplen las identidades clásicas: $$ A \cdot B = \lVert A \rVert \, \lVert B \rVert \cos \alpha, $$ $$ A \land B = \lVert A \rVert \, \lVert B \rVert \sin \alpha, $$ donde el valor del coseno depende solo de la amplitud del ángulo, mientras que el signo del seno refleja la orientación (horaria o antihoraria) del paso de $A$ a $B$.
Introducimos ahora la aplicación de $A$ sobre $B$, que denotaremos por $$ A[B] = \bigl( A \cdot B , \; A \land B \bigr). $$ Este nuevo vector satisface $$ \lVert A[B] \rVert = \lVert A \rVert \, \lVert B \rVert. $$ Si $\theta$ es el ángulo entre $A[B]$ y $B$, entonces $$ A[B] \cdot B = \lVert A \rVert \, \lVert B \rVert^2 \cos \theta. $$ Por otro lado, al desarrollar el producto escalar componente a componente resulta $$ \frac{A[B] \cdot B}{\lVert A \rVert \, \lVert B \rVert^2} = \cos {\beta} \cos {\alpha} \pm \sin {\beta} \sin {\alpha} , $$ $\beta$ es el ángulo que forma $B$ con el eje $x$ y $\alpha$ es el ángulo comprendido entre $A$ y $B$. Aquí se ha tomado $\pm$ para indicar a la orientación de $A$ con respecto de $B$, es decir si $A$ esta en sentido antihorario con respecto de $B$ se toma el signo menos, si $A$ están en sentido horario se toma el signo más. Por otro lado $$ A[B] \cdot B = \lVert A \rVert \, \lVert B \rVert^2 \cos{\theta}, $$ en donde $\theta$ el ángulo entre los vectores $A[B]$ y $B$. Al igualador las últimas dos expresiones se obtiene que $$ \cos \theta = \cos(\beta \mp \alpha). $$ y de este modo, $$ \theta = \beta \mp \alpha. $$
De acuerdo con esto si $A$ se ecuentra en sentido antihorario con respecto de $B$ se tiene que $\theta = \beta + \alpha$ es decir $\theta$ coincide con el ángulo que forma el vector $A$ con el eje $x.$ Por otro lado si $A$ se encuentra en sentido horario entonces $\theta = \beta - \alpha$ y de nuevo $\theta$ coincide con el ángulo que forma el vector $A$ con respecto del eje $x.$
En consecuencia, podemos interpretar que el vector $A[B]$ se obtiene a partir del vector $B$ mediante una rotación en sentido horario del ángulo que forma $A$ con el eje $x$—, seguida de una ampliación (o contracción) por el factor $\lVert A \rVert$.
Ejemplo. Rotar $45^\circ$ a favor del reloj, sin cambiar su tamaño, el vector $B = (-1,0)$.
Una dirección clásica para $45^\circ$ es $(1,1)$; la normalizamos tomando $$ A=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad \|A\|=1. $$ Entonces $$ A[B] = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right). $$
Ejemplo. Consideremos el segmento con extremos en $\mathcal{O}=(0,0)$ y $B=(5,0)$. Queremos obtener, de manera iterada, nuevas posiciones de este vector al rotarlo $60^\circ$ en sentido horario y, al mismo tiempo, reducir su tamaño en un $10\%$ en cada paso.
Una dirección unitaria asociada al ángulo de $60^\circ$ es \[ \left(\frac{1}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right). \] Si además incorporamos la reducción del $10\%$, definimos \[ A=\left(\frac{0.9}{2},\,\frac{0.9\sqrt{3}}{2}\right). \]
Con la notación introducida, cada nueva rotación se obtiene mediante la composición \[ A^{(n)}[B] \;=\; A^{(n-1)}\!\bigl[A[B]\bigr], \] con condición inicial \[ A^{(0)}[B] = B. \]
De esta manera, el proceso genera una sucesión de vectores \[ B,\; A[B],\; A[A[B]],\; A^{(3)}[B],\;\dots \] que corresponden a las sucesivas rotaciones de $B$ en ángulos de $60^\circ$ en sentido horario, cada vez con una longitud reducida al $90\%$ de la anterior. El resultado es una espiral de segmentos que se acercan progresivamente al origen.
